XGBoost简单推导及理解

大鹅 • 2023-01-02 • 云技术社区 • 274 阅读

前言

XGBoost的全称是eXtreme Gradient Boosting。作为一个非常有效的机器学习方法，Boosting Tree是数据挖掘和机器学习中最常用的算法之一。因为它效果好，对于输入要求不敏感，相对LR 的优势如不需要做特征的归一化，自动进行特征选择，模型可解释性较好，可以适应多种损失函数如 SquareLoss，LogLoss 等，往往是从统计学家到数据科学家必备的工具之一，它同时也是kaggle比赛冠军选手最常用的工具。最后，因为它的效果好，在计算速度和准确率上，较GBDT有明显的提升计算复杂度不高，也在工业界中有大量的应用。

前置知识：GBDT

模型函数形式

给定数据集

\\mathcal D={(x_i, y_i)}

,XGBoost进行additive training，学习

棵树，采用以下函数对样本进行预测：

\\hat y_i=\\phi(x_i)=\\sum^K_{k=1}f_k(x_i),f_k\\in \\mathcal F

这里

\\mathcal F

是假设空间，

f(x)

是CART回归树

\\mathcal F=\\{f(x)=w_{q(x)}\\}(q:\\Bbb R^m\\to T,w\\in\\Bbb R^T)

注意：这里

q(x)

表示将样本x分到了某个叶子节点上，w是叶子节点的分数（leaf score），所以

w_{q(x)}

表示回归树对样本的预测值。这些定义在之后会用到。

目标函数

XGBoost的目标函数（函数空间）为

\\mathcal L(\\phi)=\\sum_{i=1}^Nl(y_i,\\hat y_i) + \\Omega(f_k)

其中

l(y_i,\\hat y_i)

为误差函数，

\\Omega(f_k)

为正则项，对每棵回归树的复杂度进行了惩罚。

那么有哪些指标可以衡量树的复杂度？

树的深度，内部节点个数，叶子节点个数(T)，叶节点分数(w)..
XGBoost用的是

\\Omega(f_k)=\\gamma T+\\frac{1}{2}\\lambda||w||^2

对叶子节点个数和叶节点分数进行惩罚，相当于在训练过程中做了剪枝。

误差函数的泰勒二阶展开

第t次迭代之后，模型的的预测等于前t-1次的模型预测加上第t棵树的预测：

\\hat y_i^{(t)} = \\hat y_i^{(t-1)} +f_t(x_i)

此时目标函数可写作：

\\mathcal L^{(t)}=\\sum^n_{i=1}l(y_i,\\hat y_i^{(t-1)} +f_t(x_i))+\\Omega (f_t)

公式中

y_i,\\hat y_i^{(t-1)}

都已知，模型要学习的只有第t棵树

f_t

将误差函数在

\\hat y_i^{(t-1)}

处进行二阶泰勒展开：

\\mathcal L^{(t)}\\approx \\sum^n_{i=1}l(y_i,\\hat y_i^{(t-1)} )+g_if_t(x_i)+\\frac{1}{2}h_if_t^2(x_i)+\\Omega (f_t)

其中

g_i=\\partial_{\\hat y^{(t-1)}}l(y_i,\\hat y_i^{(t-1)})

h_i=\\partial^2_{\\hat y^{(t-1)}}l(y_i,\\hat y_i^{(t-1)})

将公式中的常数项去掉，得到:

\\hat L^{(t)}=\\sum^n_{i=1}[g_if_t(x_i)+\\frac{1}{2}h_if_t^2(x_i)]+\\Omega (f_t)

把

f_t,\\Omega(f_t)

写成树结构的形式，即把下式代入目标函数中

f(x)=w_{q(x)}

\\Omega(f)=\\gamma T + \\frac{1}{2}\\lambda||w||^2

得到：

\\hat L^{(t)}=\\sum^n_{i=1}[g_iw_{q(x_i)}+\\frac{1}{2}h_iw^2_{q(x_i)}]+\\gamma T + \\lambda\\frac{1}{2}\\sum^T_{j=1}w_j^2

其中

\\sum^n_{i=1}[g_iw_{q(x_i)}+\\frac{1}{2}h_iw_{q(x_i)}^2]

是对样本累加，

\\lambda\\frac{1}{2}\\sum^T_{j=1}w_j^2

是对叶节点累加。

统一起来：定义每个叶节点j上的样本集合为

I_j=\\{i|q(x_i)=j\\}

则目标函数可以写成按叶节点累加的形式：

\\hat L^{(t)}=\\sum^T_{j=1}[(\\sum_{i \\in I_j}g_i)w_j+\\frac{1}{2}(\\sum_{i \\in I_J}h_i+\\lambda)w_j^2]+\\gamma T \\\\ =\\sum^T_{j=1}[(G_jw_j+\\frac{1}{2}(H_j+\\lambda)w_j^2]+\\gamma T

如果确定了树的结构（即

q(x)

确定），为了使目标函数最小，可以令其导数为0，解得每个叶节点的最优预测分数为:

w^*_j=-\\frac{G_j}{H_j+\\lambda}

代入目标函数，得到最小损失为：

\\hat L^*=-\\frac{1}{2}\\sum^T_{j=1}\\frac{G_j^2}{H_j+\\lambda}+\\gamma T

学习策略

ID3算法采用信息增益
C4.5算法采用信息增益比
CART分类树采用Gini系数

在XGBoost中，参考上式，

\\frac{G_j^2}{H_j+\\lambda}

部分衡量了每个叶子节点对总体损失的的贡献，我们希望损失越小越好，则标红部分的值越大越好。

因此，对一个叶子节点进行分裂，分裂前后的增益定义为：

Gain=\\frac{G^2_L}{H_L+\\lambda}+\\frac{G^2_R}{H_R+\\lambda}-\\frac{(G^2_L+G_R)^2}{H_L+H_R+\\lambda}-\\gamma

Gain的值越大，分裂后 L 减小越多。所以当对一个叶节点分割时，计算所有候选(feature,value)对应的Gain，选取Gain最大的进行分割。

树节点分裂方法(Split Finding)

精确算法:遍历所有特征的所有可能的分割点，计算gain值，选取值最大的（feature，value）去分割

近似算法: 对于每个特征，只考察分位点，减少计算复杂度

• Global：学习每棵树前，提出候选切分点
• Local：每次分裂前，重新提出候选切分点
实际上XGBoost不是简单地按照样本个数进行分位，而是以二阶导数值作为权重(Weighted Quantile Sketch)

稀疏值处理

当特征出现缺失值时，XGBoost可以学习出默认的节点分裂方向。

其他特性

行抽样，列抽样(借鉴随机森林) ：降低过拟合，减少计算
支持自定义损失函数(需二阶可导)
Shrinkage：每次迭代会将叶子节点权重乘以系数，削弱每棵树影响
支持并行：XGBoost的并行是在特征粒度上的。我们知道，决策树的学习最耗时的一个步骤就是对特征的值进行排序（因为要确定最佳分割点），XGBoost在训练之前，预先对数据进行了排序，然后保存为block结构，后面的迭代中重复地使用这个结构，大大减小计算量。这个block结构也使得并行成为了可能，在进行节点的分裂时，需要计算每个特征的增益，最终选增益最大的那个特征去做分裂，那么各个特征的增益计算就可以开多线程进行。
可并行的近似直方图算法：树节点在进行分裂时，我们需要计算每个特征的每个分割点对应的增益，即用贪心法枚举所有可能的分割点。当数据无法一次载入内存或者在分布式情况下，贪心算法效率就会变得很低，所以xgboost还提出了一种可并行的近似直方图算法，用于高效地生成候选的分割点。
把连续的浮点特征值离散化成k个整数，同时构造一个宽度为k的直方图。在
遍历数据的时候，根据离散化后的值作为索引在直方图中累积统计量，当遍
历一次数据后，直方图累积了需要的统计量，然后根据直方图的离散值，遍
历寻找最优的分割点。

• 减小内存占用，比如离散为256个bin时，只需要8bit，节省7/8
• 减小了split finding时计算增益的计算量，从O(#data)

系统设计

Column Block
- 特征预排序，以column block的结构存于内存中。
- 存储样本索引（instance indices）
- block中的数据以稀疏格式（CSC）存储
这个结构加速了split finding的过程，只需要在建树前排序一次，后面节点分裂时直接根据索引得到梯度信息
Cache Aware Access
- column block按特征大小顺序存储，相应的样本的梯度信息是分散的，造成内存的不连续访问，降低CPU cache 命中率。
- 缓存优化方法
  - 预取数据到buffer中（非连续->连续），再统计梯度信息
  - 调节块的大小

参考

http://www.52cs.org/?p=429
https://blog.csdn.net/a819825294/article/details/51206410
http://pan.baidu.com/s/1gfA6FK3
http://learningsys.org/papers/LearningSys_2015_paper_32.pdf
acm=1488265641_ffdebf36cef2b1bf7f3f76abf6bfe426”>http://delivery.acm.org/10.1145/2940000/2939785/p785-chen.pdf?ip=202.118.228.100&id=2939785&acc=ACTIVE%20SERVICE&key=BF85BBA5741FDC6E.5C4511229FC427D6.4D4702B0C3E38B35.4D4702B0C3E38B35&CFID=905733202&CFTOKEN=53852884&acm=1488265641_ffdebf36cef2b1bf7f3f76abf6bfe426
https://blog.csdn.net/github_38414650/article/details/76061893
https://www.jianshu.com/p/7467e616f227
https://xgboost.readthedocs.io/en/latest/tutorials/model.html
GBDT 对比 https://www.jianshu.com/p/765efe2b951a https://blog.csdn.net/Cdd2xd/article/details/77426622